[데이터사이언스 수학] 📚 Determinant(행렬식): 행렬의 비밀을 푸는 열쇠! 🔑✨

안녕하세요! 오늘은 데이터 사이언스와 선형 대수에서 중요한 개념인 Determinant(행렬식)에 대해 알아보겠습니다. 😄
Determinant는 행렬의 특성을 나타내는 스칼라 값으로, 다양한 수학적, 물리적 의미를 담고 있습니다. 🧮

 

[데이터사이언스 수학] 📚 Determinant(행렬식): 행렬의 비밀을 푸는 열쇠! 🔑✨

 

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1. Determinant란? 🤔

Determinant는 행렬이 공간에 미치는 길이(1차원), 면적(2차원), 부피(3차원)의 변화를 나타내는 값입니다.

📌 주요 특징

• Determinant 값 > 0: 면적이나 부피가 양수 방향으로 변형됩니다.
• Determinant 값 < 0: 면적이나 부피가 음수 방향(반전)으로 변형됩니다.
• Determinant 값 = 0: 행렬이 역행렬을 가지지 않으며, 공간을 "압축"하여 차원이 줄어듭니다.

예시:

• Determinant가 2라면, 면적(2D) 또는 부피(3D)가 2배로 늘어났다는 의미입니다.
• Determinant가 1이라면, 변형이 공간에 영향을 미치지 않았음을 의미합니다.
• Determinant가 0이라면, 공간이 "붕괴"하여 2차원 공간이 1차원으로 줄어들거나, 1차원으로 축소됩니다.

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2. Determinant의 활용 🌟

1) 선형 변환에서의 의미

행렬이 공간에 어떻게 영향을 미치는지를 나타냅니다. 예를 들어,

• 길이(1차원)
• 면적(2차원)
• 부피(3차원)

2) 역행렬 판단

Determinant가 0인 행렬은 역행렬이 존재하지 않습니다.
💡 왜냐하면, 0 * x = 0이 항상 성립하기 때문에 "반대 연산"을 정의할 수 없기 때문입니다.

3) 고유값(Eigenvalue)와의 관계

행렬의 Determinant는 행렬의 고유값(Eigenvalue)을 곱한 값과 같습니다.
즉, det(M) = λ1 × λ2 × ... × λn 입니다.

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3. Determinant의 주요 속성 🧠

1. 행렬 곱의 Determinant
   두 행렬 M1과 M2를 곱한 Determinant는 각각의 Determinant를 곱한 값과 같습니다

행렬 곱의 Determinant

2. 스칼라 곱의 Determinant
행렬에 스칼라 ccc를 곱하면, Determinant는 cNc^NcN만큼 변합니다.
여기서 N은 행렬의 차원입니다.

 

스칼라 곱의 Determinant

 

3. Stretch와 Determinant
행렬이 늘어나거나 압축되는 정도를 나타냅니다. 예를 들어, 늘어나는 장난감의 변화를 측정할 수 있습니다! 🧸

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4. Python을 사용한 Determinant 계산 🖥️

Determinant를 계산하려면 Python의 NumPy 라이브러리를 사용하면 됩니다.

예제 코드:

# Import numpy module
import numpy as np

# Create 2x2 matrix
arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# Compute Determinant of a matrix
arr_det = np.linalg.det(arr)

# Print the Computed Determinant
print("Determinant:", arr_det)
# Determinant: -2.0000000000000004

 

💡 해석: 이 행렬의 Determinant는 -2입니다. 이는 변환이 반전(음수)되었으며, 면적이 2배로 변형되었음을 의미합니다.

 

5. Determinant의 직관적 예시 💡

• 행렬이 2차원 공간을 비틀거나 늘이거나 줄이는 정도를 결정합니다.
• 행렬이 물리적 세계에서 움직임, 변형, 회전 등을 표현한다고 상상해보세요!
  예를 들어, 장난감을 당길 때 얼마나 "늘어났는지"를 Determinant로 알 수 있습니다. 🧸

6. 정리: Determinant의 핵심 🏁

• Determinant는 행렬의 특성을 나타내는 스칼라 값입니다.
• 공간의 변형, 회전, 또는 압축 정도를 나타냅니다.
• Determinant = 0: 역행렬이 없으며, 공간이 붕괴합니다.
• Determinant > 0 또는 < 0: 변형된 방향과 크기를 나타냅니다.